Capacitor의 기본 원리, Capacitance, 충·방전, ESR, ESL, SRF

Capacitor(커패시터)는 전하를 저장하고 방출하는 수동소자이다. 흔히 콘덴서(Condenser)라고도 부르며, 전자회로에서 전원 안정화, 노이즈 억제, 신호 처리 등 다양한 목적으로 사용된다.

특히 CPU, GPU, SSD Controller와 같은 반도체에서는 수많은 트랜지스터가 빠르게 Switching하면서 소비 전류가 변한다. 이때 Capacitor는 순간적인 전류 수요에 대응하고, 전원 전압의 변동을 줄이는 데 중요한 역할을 한다.

그러나 Capacitor는 정전용량이 크다고 무조건 좋은 것은 아니다. 실제 소자에는 저항과 인덕턴스 성분이 존재하므로 주파수에 따라 전기적 특성이 달라지기 때문이다.

이번 글에서는 Capacitor의 기본 원리부터 Capacitance, Charging/Discharging, Decoupling, Bulk Capacitor, ESR, ESL, Self-Resonant Frequency(SRF)를 차례대로 살펴본다. 이러한 개념은 이후 Power Integrity(PI)와 Power Distribution Network(PDN)를 이해하기 위한 기초가 된다.

1. Capacitor란?

그림 1. 평행판 Capacitor의 기본 구조. 두 전극에 반대 부호의 전하가 축적되며, 두 전극 사이에 전기장이 형성된다. 출처: 직접 제작.

Capacitor는 두 개의 도체 전극 사이에 절연체인 Dielectric(유전체)이 배치된 구조이다.

두 전극 사이에 전압을 인가하면 한쪽 전극에서는 전자가 빠져나가 양전하가 형성되고, 반대쪽 전극에는 전자가 축적되어 음전하가 형성된다.

두 전극은 유전체로 분리되어 있으므로 이상적인 상태에서 전자가 유전체를 직접 통과하지는 않는다. 대신 두 전극 사이에 전기장이 형성되며, 이 전기장에 에너지가 저장된다.

1.1 Capacitance(정전용량)

Capacitance는 Capacitor가 전압에 비례하여 전하를 저장하는 정도를 나타내는 물리량이다.

\[ C=\frac{Q}{V} \]

• \(C\): 정전용량, 단위 \(\mathrm{F}\)(Farad)

• \(Q\): 한쪽 전극에 축적된 전하량의 크기, 단위 \(\mathrm{C}\)(Coulomb)

• \(V\): 두 전극 사이의 전압, 단위 \(\mathrm{V}\)(Volt)

즉, 동일한 전압을 인가했을 때 Capacitance가 클수록 더 많은 전하를 저장할 수 있다.

예를 들어 \(10\,\mu\mathrm{F}\)의 Capacitor에 \(5\,\mathrm{V}\)를 인가했다고 가정하자.

\[ Q=CV \]

\[ =10\times10^{-6}\times5 \]

\[ =50\,\mu\mathrm{C} \]

따라서 각 전극에는 크기가 \(50\,\mu\mathrm{C}\)이고 부호가 반대인 전하가 축적된다.

1.2 Capacitance를 결정하는 요소

평행판 Capacitor의 정전용량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ C=\frac{\varepsilon A}{d} \]

• \(\varepsilon\): 유전체의 유전율

• \(A\): 두 전극이 마주 보는 면적

• \(d\): 두 전극 사이의 거리

따라서 전극의 면적이 넓거나, 전극 사이의 거리가 짧거나, 유전율이 높은 물질을 사용할수록 정전용량이 커진다.

대표적인 Capacitor 중 하나인 MLCC(Multilayer Ceramic Capacitor)는 이러한 원리를 이용하여 얇은 유전체와 내부 전극을 여러 층으로 적층한다. 이를 통해 작은 부피에서도 큰 정전용량을 구현할 수 있다. 다만 실제 MLCC는 유전체의 특성에 따라 온도와 인가 전압에 의해 유효 정전용량이 변할 수 있다.

1.3 Capacitor에 저장되는 에너지

Capacitor에 저장되는 전기 에너지는 다음과 같다.

\[ E=\frac{1}{2}CV^2 \]

여기서 \(E\)는 에너지이며, 단위는 \(\mathrm{J}\)(Joule)이다.

이 식에 따르면 정전용량이 클수록, 인가 전압이 높을수록 더 많은 에너지를 저장할 수 있다. 특히 에너지는 전압의 제곱에 비례하므로 전압 변화의 영향을 크게 받는다.

다만 실제 Capacitor에는 정격전압이 정해져 있으므로 허용 범위를 초과하는 전압을 인가해서는 안 된다.

2. Charging과 Discharging

Capacitor는 외부 전원으로부터 전하를 축적하는 Charging(충전)과 저장된 전하를 외부 회로로 방출하는 Discharging(방전)을 반복할 수 있다.

이 과정에서 중요한 특징은 이상적인 Capacitor의 양단 전압이 유한한 전류만으로는 순간적으로 변하지 않는다는 것이다.

이상적인 Capacitor의 전류와 전압 관계는 다음과 같다.

\[ i_C(t)=C\frac{dV_C(t)}{dt} \]

즉, Capacitor의 전압이 빠르게 변하려면 그만큼 큰 전류가 흘러야 한다. 따라서 유한한 전류만 흐를 수 있는 일반적인 회로에서는 Capacitor의 전압이 순간적으로 변할 수 없으며, 충전과 방전에 따라 점진적으로 변화한다.

2.1 Charging(충전)

RC Charging Circuit. 전원을 연결하고 스위치를 닫으면 저항을 통해 전류가 흐르면서 Capacitor가 충전된다. (University of Reading, PPLATO FLAP Physics)

전압원, 저항, Capacitor를 직렬로 연결한 RC 회로에 전압을 인가하면 Capacitor가 충전된다.

처음에 Capacitor가 방전된 상태라면 양단 전압은 \(0\,\mathrm{V}\)이다. 전원을 연결하면 전류가 흐르면서 전하가 축적되고, 그에 따라 Capacitor의 전압이 증가한다.

그러나 충전이 진행될수록 전원과 Capacitor 사이의 전압 차이가 작아진다. 따라서 저항을 통해 흐르는 전류도 점차 감소한다.

처음에 완전히 방전된 이상적인 RC 회로에서 충전 전압은 다음과 같다.

\[ V_C(t)=V_S\left(1-e^{-t/RC}\right) \]

• \(V_S\): 전원 전압

• \(R\): 직렬 저항

• \(C\): 정전용량

• \(t\): 충전 시작 후 경과 시간

충전 초기에는 전압이 빠르게 증가하지만, 시간이 지날수록 증가 속도가 느려지면서 전원 전압에 접근한다.

2.2 Discharging(방전)

충전된 Capacitor를 전원에서 분리하고 저항을 통해 방전시키면 저장된 전하가 감소한다.

이상적인 RC 회로에서 방전 중인 Capacitor의 전압은 다음과 같다.

\[ V_C(t)=V_0e^{-t/RC} \]

여기서 \(V_0\)는 방전이 시작되는 순간의 전압이다.

방전 초기에는 전압이 빠르게 감소하지만, 시간이 지날수록 감소 속도가 느려진다.

그림 2. 이상적인 RC 회로의 충전 및 방전 시 전압 변화. 충전 전압은 최종값을, 방전 전압은 초기값을 기준으로 정규화하였다. 출처: RC 회로의 충·방전 방정식을 이용하여 직접 제작.

2.3 Time Constant(시정수)

RC 회로에서 충전과 방전이 진행되는 속도를 나타내는 값이 Time Constant(시정수)이다.

\[ \tau=RC \]

시정수가 클수록 전압이 변화하는 데 더 오랜 시간이 걸린다.

경과 시간	충전 전압	방전 전압
\(1\tau\)	63.2%	36.8%
\(2\tau\)	86.5%	13.5%
\(3\tau\)	95.0%	5.0%
\(5\tau\)	99.3%	0.7%

예를 들어 \(R=1\,\mathrm{k\Omega}\), \(C=100\,\mu\mathrm{F}\)인 회로의 시정수는 다음과 같다.

\[ \tau=RC \]

\[ =1000\times100\times10^{-6} \]

\[ =0.1\,\mathrm{s} \]

따라서 충전을 시작한 뒤 \(0.1\,\mathrm{s}\)가 지나면 최종 전압의 약 63.2%에 도달하고, \(0.5\,\mathrm{s}\)가 지나면 약 99.3%에 도달한다.

다만 이 계산은 일정한 저항을 갖는 이상적인 RC 회로를 가정한 것이다. 실제 회로에서는 충전 및 방전 경로의 구성에 따라 전압 변화가 달라질 수 있다.

3. Decoupling Capacitor

CPU나 SSD Controller와 같은 반도체는 내부 트랜지스터가 Switching할 때 소비 전류가 변한다. 특히 많은 회로가 동시에 Switching하면 짧은 시간 동안 큰 전류가 필요할 수 있다.

그러나 전원 공급 장치부터 IC까지 이어지는 전원 경로에는 저항과 인덕턴스가 존재한다. 따라서 부하의 급격한 전류 변화에 즉시 대응하지 못하면 IC에 공급되는 전압이 순간적으로 떨어질 수 있다.

이러한 일시적인 전압 강하를 Voltage Droop이라고 한다. Voltage Droop이 심해지면 IC의 정상적인 동작에 영향을 줄 수 있으므로 이를 억제할 필요가 있다.

이를 위해 사용하는 것이 Decoupling Capacitor이다. Decoupling Capacitor는 IC 가까이에서 순간적으로 필요한 전류를 공급하여 전원 전압의 변동을 줄이는 역할을 한다.

3.1 Decoupling의 원리

Decoupling Capacitor는 일반적으로 IC의 전원 핀과 GND 사이에 병렬로 연결된다.

평상시에는 전원 전압에 의해 충전되어 있다가 IC가 순간적으로 큰 전류를 요구하면 저장된 전하를 방출하여 필요한 전류의 일부를 공급한다. 이후 전원 공급 경로를 통해 다시 충전된다.

따라서 Decoupling Capacitor는 급격한 전류 변화에 따른 전압 강하를 완화한다. 또한 전원과 GND 사이에 낮은 임피던스 경로를 제공하여 전원 노이즈를 줄이는 데도 기여한다.

이때 Capacitor 자체의 전압도 방전되면서 감소하지만, 전원 공급 경로만으로 전류를 공급하는 경우보다 IC의 순간적인 전압 강하를 줄일 수 있다.

그림 3. IC의 전원 핀과 GND 사이에 병렬로 연결된 Decoupling Capacitor의 개념도. 순간적인 부하 전류에 대응하여 전원 전압 변동을 완화한다. 출처: 직접 제작.

 

3.2 IC 가까이에 배치하는 이유

Decoupling Capacitor의 효과는 정전용량뿐 아니라 PCB의 배선 구조에도 영향을 받는다.

Capacitor와 IC 사이의 배선이 길어지면 전류 경로의 기생 인덕턴스가 증가할 수 있다. 인덕턴스에 의한 전압은 다음과 같이 나타낸다.

\[ V_L=L\frac{di}{dt} \]

• \(L\): 인덕턴스

• \(di/dt\): 시간에 따른 전류 변화율

즉, 전류가 빠르게 변할수록 인덕턴스에 의해 발생하는 전압도 커진다.

따라서 Capacitor가 충분한 전하를 저장하고 있더라도 연결 경로의 인덕턴스가 크면 빠른 전류 공급이 어려워질 수 있다.

이 때문에 고속 Switching 반도체에서는 Decoupling Capacitor를 전원 핀 가까이에 배치하고, GND로 돌아오는 경로까지 포함하여 전체 전류 루프를 짧게 설계한다.

4. Bulk Capacitor

Bulk Capacitor는 비교적 큰 정전용량을 이용하여 전원 공급 경로에서 발생하는 전압 변동을 완화하는 역할을 한다.

예를 들어 여러 IC가 동시에 동작하면서 소비 전류가 증가하면 전원 공급 장치가 새로운 부하 조건에 대응하는 동안 일시적으로 전압이 떨어질 수 있다.

이때 Bulk Capacitor는 저장된 에너지를 이용하여 필요한 전류의 일부를 공급한다. 따라서 전원 공급 장치의 출력단이나 PCB의 주요 전원 경로에 배치하는 경우가 많다.

4.1 Bulk Capacitor와 Decoupling Capacitor의 차이

 

구분	Bulk Capacitor	Decoupling Capacitor
주요 목적	비교적 큰 에너지 저장량을 이용한 전원 안정화	빠른 전류 변화 및 전원 노이즈 대응
정전용량	일반적으로 상대적으로 큼	회로 요구에 따라 다양함
주요 배치	전원 공급단, 주요 전원 경로	IC 전원 핀 근처
주요 고려 요소	유효 정전용량, ESR, 과도 응답	주파수별 임피던스, ESL, 배치 구조

여기서 Bulk와 Decoupling은 완전히 구분되는 소자의 종류가 아니다. 회로에서 담당하는 역할에 따라 붙이는 명칭이므로 하나의 Capacitor가 두 역할을 동시에 수행할 수도 있다.

또한 정전용량이 크면 반드시 저주파에서만 유리하고, 작으면 반드시 고주파에서 유리한 것도 아니다. 실제 성능은 ESR, ESL 및 회로의 연결 구조에 따라 달라지기 때문이다.

5. ESR과 ESL

지금까지 설명한 Capacitor는 정전용량만을 가진 이상적인 소자라고 가정했다. 그러나 실제 Capacitor에는 내부 전극, 단자 및 유전체의 특성으로 인해 전기적 손실과 기생 인덕턴스가 존재한다.

이러한 특성을 회로에서 해석하기 쉽게 나타내면 정전용량 \(C\), ESR, ESL이 직렬로 연결된 등가회로로 표현할 수 있다.

그림 4. 실제 Capacitor의 단순화된 직렬 등가회로. C는 정전용량, ESR은 등가 직렬 저항, ESL은 등가 직렬 인덕턴스를 나타낸다. 출처: 직접 제작.

5.1 ESR(Equivalent Series Resistance)

ESR은 Capacitor 내부에서 발생하는 손실을 등가적인 직렬 저항으로 표현한 값이다.

실제 Capacitor에서는 내부 전극과 단자에 의한 저항성 손실뿐 아니라 유전체 손실도 발생한다. 이러한 손실을 하나의 저항으로 근사한 것이 ESR이다.

저항에 전류가 흐르면 전력 손실이 발생한다. ESR을 일정한 값으로 근사하면 손실 전력은 다음과 같다.

\[ P_{\mathrm{loss}}=I_{\mathrm{RMS}}^2R_{\mathrm{ESR}} \]

따라서 같은 실효 전류가 흐르는 조건에서는 ESR이 클수록 전력 손실과 발열이 증가한다.

또한 Capacitor에 흐르는 전류가 변하면 ESR에 의한 전압 변동이 발생할 수 있다.

\[ \Delta V_{\mathrm{ESR}}=\Delta I\cdot R_{\mathrm{ESR}} \]

따라서 ESR은 전원 전압의 변동과 손실에 영향을 미친다.

다만 실제 ESR은 주파수와 온도 등에 따라 달라질 수 있으므로 항상 일정한 저항값으로 취급할 수는 없다.

5.2 ESL(Equivalent Series Inductance)

ESL은 Capacitor 내부 전극과 단자 등의 구조에서 발생하는 기생 인덕턴스를 등가적으로 나타낸 값이다.

Inductor는 전류의 변화에 반대하는 전압이 발생하는 특성을 갖는다. 실제 Capacitor에도 이러한 인덕턴스 성분이 존재하므로 전류가 빠르게 변할 때 영향을 받는다.

\[
V_{\mathrm{ESL}}=L_{\mathrm{ESL}}\frac{di}{dt}
\]

즉, 같은 크기의 전류 변화라도 짧은 시간에 발생할수록 ESL에 의한 전압 변동이 커질 수 있다.

따라서 고속으로 Switching하는 반도체의 전원 회로에서는 Capacitor의 ESL이 중요하다. 특히 빠른 부하 전류 변화에 대응해야 하는 Decoupling에서는 ESL이 클수록 성능이 제한될 수 있다.

또한 실제 PCB에서는 Capacitor 자체의 ESL뿐 아니라 배선, Via 및 Package에서 발생하는 기생 인덕턴스도 고려해야 한다.

6. Self-Resonant Frequency(SRF)

Capacitor의 동작 특성은 주파수에 따라 달라진다. 이를 이해하기 위해 먼저 Impedance(임피던스)를 살펴보자.

Impedance는 교류 회로에서 전압과 전류의 비율을 나타내는 물리량이다. 단위는 저항과 동일한 \(\Omega\)(Ohm)이며, 저항뿐 아니라 정전용량과 인덕턴스에 의한 영향도 포함한다.

6.1 주파수에 따른 임피던스

이상적인 Capacitor의 임피던스 크기는 다음과 같다.

\[ |Z_C|=\frac{1}{2\pi fC} \]

여기서 \(f\)는 주파수이다.

위 식에 따르면 이상적인 Capacitor는 주파수가 높아질수록 임피던스가 작아진다.

반면 이상적인 Inductor의 임피던스 크기는 다음과 같다.

\[ |Z_L|=2\pi fL \]

따라서 Inductor는 주파수가 높아질수록 임피던스가 커진다.

실제 Capacitor에는 정전용량과 ESL이 함께 존재한다. 그러므로 낮은 주파수에서는 정전용량의 영향이 지배적이지만, 높은 주파수에서는 ESL의 영향이 커지게 된다.

6.2 Self-Resonant Frequency란?

실제 Capacitor를 단순한 직렬 RLC 회로로 표현하면 임피던스는 다음과 같다.

\[
Z=R_{\mathrm{ESR}}+j\left(2\pi fL_{\mathrm{ESL}}-\frac{1}{2\pi fC}\right)
\]

여기서 \(j\)는 허수 단위이며, 괄호 안의 두 항은 각각 인덕턴스와 정전용량에 의한 리액턴스를 나타낸다.

주파수가 증가하면 정전용량에 의한 리액턴스의 크기는 감소하지만, ESL에 의한 리액턴스는 증가한다.

이때 두 리액턴스가 서로 상쇄되는 주파수를 Self-Resonant Frequency(SRF, 자기공진주파수)라고 한다.

\[
f_{\mathrm{SRF}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_{\mathrm{ESL}}C}}
\]

자기공진주파수에서는 두 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스가 최소가 된다. 단순한 직렬 RLC 모델에서는 이때 임피던스의 크기가 ESR과 같아진다.

그림 5. Capacitor의 주파수에 따른 임피던스 변화. \(C=0.1\,\mu\mathrm{F}\) , \(ESL=1\,\mathrm{nH}\) , \(ESR=0.03\,\Omega\) 를 가정한 계산 결과로, 실제 부품의 측정 데이터는 아니다. 출처: 직렬 RLC 모델을 이용하여 직접 제작.

 

6.3 SRF가 중요한 이유

앞서 Decoupling Capacitor는 전원과 GND 사이에 낮은 임피던스 경로를 제공하여 전원 노이즈를 줄인다고 설명했다.

그런데 반도체의 Switching으로 발생하는 전원 노이즈에는 다양한 주파수 성분이 포함된다. 따라서 Capacitor가 이러한 노이즈를 효과적으로 억제하려면 해당 주파수에서 임피던스가 충분히 낮아야 한다.

그러나 실제 Capacitor의 임피던스는 주파수가 높아질수록 계속 작아지는 것이 아니다.

• SRF보다 낮은 주파수: 정전용량의 영향이 지배적이며, 주파수가 증가할수록 임피던스가 감소한다.

• SRF 부근: 임피던스가 최소가 된다.

• SRF보다 높은 주파수: ESL의 영향이 지배적이며, 주파수가 증가할수록 임피던스가 커진다.

따라서 SRF는 Capacitor의 임피던스가 최소가 되는 주파수로, 주파수에 따른 전원 노이즈 억제 성능을 판단하는 중요한 기준이다. 다만 실제 성능은 Capacitor 자체의 특성뿐 아니라 PCB 배선 및 다른 부품의 임피던스에도 영향을 받으므로 전체 전원 공급망을 함께 고려해야 한다.

예를 들어 특정 주파수에서 전원 노이즈가 발생하는데, 사용한 Capacitor의 SRF가 그보다 훨씬 낮다면 해당 주파수에서는 ESL의 영향으로 임피던스가 이미 증가했을 수 있다. 따라서 충분한 노이즈 억제 효과를 얻지 못할 수 있다.

이 때문에 Decoupling Capacitor를 선택할 때는 단순히 Capacitance만 확인하는 것이 아니라 ESR, ESL, SRF를 함께 고려하여 필요한 주파수 범위에서 임피던스가 충분히 낮은지 확인해야 한다.

서로 다른 주파수 특성을 가진 두 Capacitor를 병렬로 연결했을 때 발생할 수 있는 Anti-resonance의 예시. 특정 주파수에서 전체 임피던스가 증가할 수 있으며, 그 특성은 각 소자의 ESR, ESL 및 연결 구조에 따라 달라진다. (https://myelectrodoctor.com/blog/why-we-place-decoupling-capacitors-near-ic-power-pins)

한편, 실제 전원 회로에서는 다양한 주파수의 노이즈에 대응하기 위해 서로 다른 특성을 가진 Capacitor를 병렬로 연결하기도 한다.

그러나 여러 Capacitor를 연결하면 각 소자의 정전용량과 기생 인덕턴스가 상호작용하여 특정 주파수에서 전체 임피던스가 오히려 높아지는 현상이 발생할 수 있다. 이를 Anti-resonance(반공진)라고 한다.

따라서 서로 다른 SRF를 가진 Capacitor를 많이 배치한다고 해서 반드시 노이즈 억제 성능이 좋아지는 것은 아니다. 중요한 것은 필요한 주파수 범위에서 전체 전원 공급망의 임피던스를 낮게 유지하는 것이다.

7. Capacitor와 Power Integrity

Power Integrity(PI)는 반도체가 동작하는 동안 필요한 전원 전압을 허용 범위 내에서 안정적으로 유지하는 것과 관련된 개념이다.

CPU나 SSD Controller처럼 고속으로 동작하는 반도체에서는 소비 전류가 빠르게 변화한다. 이때 전원 공급 경로에 저항과 인덕턴스가 존재하면 전압 강하와 노이즈가 발생할 수 있다.

전원 공급 장치부터 PCB, 반도체 Package 및 IC까지 이어지는 전력 공급망을 Power Distribution Network(PDN)라고 한다.

PDN에서 Capacitor는 순간적인 전류를 공급하고 전원 경로의 임피던스를 낮추는 역할을 한다. 그러나 실제 성능은 Capacitance뿐 아니라 ESR, ESL, SRF 및 배치 구조에 따라 달라진다.

따라서 PI에서는 단순히 Capacitor를 많이 사용하는 것보다 필요한 주파수 범위에서 전원 공급망의 임피던스를 충분히 낮추는 것이 중요하다.

결국 Capacitor를 이해할 때 핵심은 전하를 저장하는 능력과 실제 소자의 주파수 특성을 함께 고려하는 것이다.

참고자료

1. Murata Manufacturing — Basics of Ceramic Capacitors https://www.murata.com/-/media/webrenewal/campaign/ads/japan/mlcc-1st-basic/download/mlcc-1st-dl.ashx?la=en

2. Murata Manufacturing — What Are Impedance/ESR Frequency Characteristics in Capacitors? https://article.murata.com/en-global/article/impedance-esr-frequency-characteristics-in-capacitors

3. Texas Instruments — AFE79xx Layout Guide https://www.ti.com/kr/lit/pdf/sbaa405

4. Texas Instruments — Power Distribution Network Analysis https://www.ti.com/jp/lit/pdf/sprace6

5. Texas Instruments — CC13xx/CC26xx Hardware Configuration and PCB Design Considerations https://www.ti.com/lit/swra640

6. All About Circuits — RC Time Constant Calculator (충·방전 그래프 및 수식) https://www.allaboutcircuits.com/tools/resistor-capacitor-time-constant-calculator

7. TDK Electronics — Putting ESR to Work https://www.tdk-electronics.tdk.com/en/373562/tech-library/articles/applications-cases/applications-cases/putting-esr-to-work/790224

8. Why we place Decoupling Capacitors near IC power pins?

Why we place Decoupling Capacitors near IC power pins?

Why we place Decoupling Capacitors near IC power pins?

Why we place Decoupling Capacitors near IC power pins?